题目内容

7．一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
学生A1A2A3A4A5
数学8991939597
物理8789899293
（1）要在这五名学生中选2名参加一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成绩高于90分的概率．
（2）根据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱，如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：
相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^2\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^2}}$
回归直线的方程：$\widehat{y}$=$\widehat{b}x+\widehat{a}$，其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^2}$，$\widehat{a}=\widehat{y}-\widehat{b}x$，$\widehat{{y}_{i}}$是与xi对应的回归估计值．
参考数据：$\overline{x}$=93，$\overline{y}$=90，$\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）^2$=40，$\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^2$=24，$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=30，$\sqrt{40}$≈6.32，$\sqrt{24}$≈4.90．

分析 （1）用列举法可得从5名学生中任取2名学生的所有情况和其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况包含的事件数目，由古典概型公式，计算可得答案．
（2）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图；根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

解答 解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为：
（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、
（A5，A2）、（A5，A3）、（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）共种情10况．
其中至少有一人物理成绩高于90（分）的情况有：
（A4，A5）、（A4，A1）、（A4，A2）、（A4，A3）、（A5，A1）、
（A5，A2）、（A5，A3）共7种情况，
故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于9（0分）的概率P=$\frac{7}{10}$
（2）可求得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（89+91+93+95+97）=93，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（87+89+89+92+93）=90，
$\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）^2$=40，$\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^2$=24，$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=30，
r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i-}\overline{x}）^2\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^2}}$=$\frac{30}{\sqrt{40×24}}$≈$\frac{30}{30.97}$≈0.97，
可以看出，物理成绩与数学成绩高度正相关，
散点图如图所示．

设回归直线的方程：$\widehat{y}$=$\widehat{b}x+\widehat{a}$，
则$\hat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^2}$=0.75，$\widehat{a}=\widehat{y}-\widehat{b}x$=20.25，
故y关于x的线性回归方程是：$\hat{y}$=0.75x+20.25

点评 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理能力和应用意识．

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