题目内容
【题目】设等比数列{}的公比为 q(q > 0,q = 1),前 n 项和为 Sn,且 2a1a3 = a4,数列{
}的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1),n ∈N*,b2 = 1.
(1) 求数列 {},{
}的通项公式;
(2) 是否存在常数 t,使得 {Sn+ } 为等比数列?说明理由;
(3) 设 cn =,对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l,m(k < l < m), 使得 ck,c1,cm 成等差数列?若存在,求出 l,m(用 k 表示),若不存在,说明理由.
【答案】(1) ; (2)存在
,使得
是公比为
的等比数列;(3)存在
符合题意.
【解析】
(1)利用基本量运算可得,利用n≥2时,2bn=2(Tn﹣Tn﹣1),整理可得
;
(2)由Sn,分别讨论t
时和t
时,由等比数列的定义证明即可;
(3)假设对于任意给定的正整数k(k≥2),存在正整数l,m(k<l<m),使得ck,c1,cm成等差数列.则,整理得:2m+1
,取l=2k,即可得解.
(1)等比数列{an}的公比为q(q>0,q=1),∵2a1a3=a4,
∴,可得a1
.
∴anqn﹣1
.
数列{bn}的前n项和Tn满足2Tn=n(bn﹣1),n∈N*,b2=1.
∴n≥2时,2bn=2(Tn﹣Tn﹣1)=n(bn﹣1)﹣(n﹣1)(bn﹣1﹣1),
化为:(n﹣2)bn=(n﹣1)bn﹣1+1,
当n≥3时,两边同除以(n﹣2)(n﹣1),可得:,
利用累加求和可得:b2+1
,化为:bn=2n﹣3(n≥3),
当n=1时,2b1=b1﹣1,解得b1=﹣1,
经过验证n=1,2时也满足.
∴bn=2n﹣3.
(2)由(1)可知:an,q>0,q≠1.
∴Sn.
①若t时,则Sn
,∴
q.
即数列{Sn}是公比为q的等比数列.
②若t时,则Sn
.
设A,
B.(其中A,B≠0).
则q
不为常数.
综上:存在t时,使得数列{Sn
}是公比为q的等比数列.
(3)由(1)可知:bn=2n﹣3.
,
假设对于任意给定的正整数k(k≥2),存在正整数l,m(k<l<m),使得ck,c1,cm成等差数列.
则,整理得:2m+1
,
取l=2k,则2m+1=(4k+1)(2k+1),解得m=4k2+3k.
即存在l=2k,m=4k2+3k.符合题意.

【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,在高三年级中随机选取名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于
小时的有
人,在这
人中分数不足
分的有
人;在每周线上学习数学时间不足于
小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足
分的占
.
(1)请完成列联表;并判断是否有
的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
分数不少于 | 分数不足 | 合计 | |
线上学习时间不少于 | |||
线上学习时间不足 | |||
合计 |
(2)在上述样本中从分数不足于分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不少于
小时和线上学习时间不足
小时的学生共
名,若在这
名学生中随机抽取
人,求这
人每周线上学习时间都不足
小时的概率.(临界值表仅供参考)
(参考公式,其中
)
【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在
的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中
构成以2为公比的等比数列.
(1)求的值;
(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求
的分布列及数学期望.
附:,其中
.
.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |