Question

【题目】设等比数列｛｝的公比为 q(q > 0，q = 1)，前 n 项和为 Sn，且 2a1a3 = a4，数列｛｝的前 n 项和 Tn 满足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.

(1) 求数列 ｛｝，｛｝的通项公式；

(2) 是否存在常数 t，使得 {Sn+ } 为等比数列？说明理由；

(3) 设 cn =，对于任意给定的正整数 k(k ≥2), 是否存在正整数 l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差数列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）存在，使得是公比为的等比数列；（3）存在符合题意.

【解析】

（1）利用基本量运算可得，利用n≥2时，2bn＝2（Tn﹣Tn﹣1），整理可得；

（2）由Sn，分别讨论t时和t时，由等比数列的定义证明即可；

（3）假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l，m（k＜l＜m），使得ck，c1，cm成等差数列．则，整理得：2m+1，取l＝2k，即可得解.

（1）等比数列{an}的公比为q（q＞0，q＝1），∵2a1a3＝a4，

∴，可得a1．

∴anqn﹣1．

数列{bn}的前n项和Tn满足2Tn＝n（bn﹣1），n∈N*，b2＝1．

∴n≥2时，2bn＝2（Tn﹣Tn﹣1）＝n（bn﹣1）﹣（n﹣1）（bn﹣1﹣1），

化为：（n﹣2）bn＝（n﹣1）bn﹣1+1，

当n≥3时，两边同除以（n﹣2）（n﹣1），可得：，

利用累加求和可得：b2+1，化为：bn＝2n﹣3（n≥3），

当n＝1时，2b1＝b1﹣1，解得b1＝﹣1，

经过验证n＝1，2时也满足．

∴bn＝2n﹣3．

（2）由（1）可知：an，q＞0，q≠1．

∴Sn．

①若t时，则Sn，∴q．

即数列{Sn}是公比为q的等比数列．

②若t时，则Sn．

设A，B．（其中A，B≠0）．

则q不为常数．

综上：存在t时，使得数列{Sn}是公比为q的等比数列．

（3）由（1）可知：bn＝2n﹣3．

，

假设对于任意给定的正整数k（k≥2），存在正整数l，m（k＜l＜m），使得ck，c1，cm成等差数列．

则，整理得：2m+1，

取l＝2k，则2m+1＝（4k+1）（2k+1），解得m＝4k2+3k．

即存在l＝2k，m＝4k2+3k．符合题意．