题目内容
【题目】如图，多面体
中，
是正方形，
，
，
，且
，
，
、
分别为棱
、
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求平面和平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】
（1）首先根据已知条件易证
平面
，从而得到
，又根据
得到
平面
，根据中位线得到
，得到
平面，根据
，
是
中点，得到
，再根据线面垂直的判定即可证明
平面
.
（2）以
为原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面
的法向量，再代入二面角公式计算即可.
（1）因为
，
，
所以
，即
.
平面.
又因为
平面，所以.
因为四边形是正方形，所以.
平面.
因为
，四边形是正方形，所以.
又因为、
分别为棱、
的中点，所以
.
所以
平面.
又因为
平面，所以
.
因为，是中点，所以.
平面.
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则
，
，
，
，
所以
，
平面的一个法向量为
，
由
，得
，令
，则
.
由（1）可知平面
所以平面的一个法向量为
，
设平面和平面所成锐二面角为
，
则
所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
【题目】为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值 | [15，20） | [20，25） | [25，30） | [30，35） | [35，40） | [40，45] |
等级 | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 三等品 | 次品 |
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．
质量指标值 | 频数 |
[15，20） | 2 |
[20，25） | 18 |
[25，30） | 48 |
[30，35） | 14 |
[35，40） | 16 |
[40，45] | 2 |
合计 | 100 |
（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；
（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40，45]的产品的概率；
（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．
