题目内容
【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求函数
的极值;
(2)当时,若不等式
在
时恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求出函数导数,分析函数单调性即可求出函数极值;
(2)由题意原问题可转化为在
时恒成立,构造函数
,求导后分类讨论,利用导数确定函数单调性、最值,即可求解.
(1)时,
,(
)
所以,
令可得
,
当时,
,当
时,
,
所以函数在上单调递增,在
上单调递减,
故当时,
的极大值为
.
(2)当时,
,
即在
时恒成立,
化简得:在
时恒成立,
令,
当,
时,
,显然不满足
恒成立,所以
,
,
,
,
当时,
又在
上单调递减,
,
在
上单调递减,
故,
所以在
上恒成立.
当时,
,
又在
上单调递减,
存在唯一
,使得
当时,
,当
时,
,
所以函数在
递增,在
上递减,
又在
处连续,
,
在
上恒成立,不符合题意,
综上.
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分,说明不满意,若得分不低于
分,说明满意,调查满意度得分情况结果用茎叶图表示如图1.
(Ⅰ)根据茎叶图完成下面列联表,并根据以上数据,判断是否有的把握认为满意度与年龄有关;
满意 | 不满意 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
(Ⅱ)先采用分层抽样的方法从岁及以下的网友中选取
人,再从这
人中随机选出
人,将频率视为概率,求选出的
人中至少有
人是不满意的概率.
(Ⅲ)将频率视为概率,从参与调查的岁以上的网友中,随机选取
人,记其中满意度为满意的人数为
,求
的分布列和数学期望.
参考格式:,其中
.