Question

【题目】如图，设双曲线的上焦点为，上顶点为，点为双曲线虚轴的左端点，已知的离心率为，且的面积.

（1）求双曲线的方程；

（2）设抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，动直线与相切于点，与的准线相交于点，试推断以线段为直径的圆是否恒经过轴上的某个定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）以为直径的圆恒经过轴上的定点.

【解析】试题分析：（1）由离心率得，再由的面积得，解方程组得.（2）先转化条件为恒等式问题：存在定点满足题设条件，则对任意点恒成立，再设点，根据条件求出，利用向量数量积得对任意实数恒成立，最后根据恒等式得，解出定点的坐标.

试题解析：解：（1）由已知，即，则，即，得， ，

又，则，得.

从而， ，所以双曲线的方程为.

（2）由题设，抛物线的方程为，准线方程为，

由，得，设点，则直线的方程为，

即，联立，得，

假设存在定点满足题设条件，则对任意点恒成立，

因为， ，则，

即对任意实数恒成立，

所以，即，故以为直径的圆恒经过轴上的定点.