题目内容
【题目】如图所示，
平面
，点
在以
为直径的
上，
，
，点
为线段
的中点，点
在弧上，且
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）设二面角
的大小为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
.
【解析】试题分析：
（1）由△ABC中位线的性质可得
，则
平面.由线面平行的判断定理可得
平面.结合面面平行的判断定理可得平面.
（2）由圆的性质可得
，由线面垂直的性质可得
，据此可知
平面.利用面面垂直的判断定理可得平面平面.
（3）以为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系
.结合空间几何关系计算可得平面的法向量
，平面
的一个法向量
，则
.由图可知为锐角，故
.
试题解析：
（1）证明：因为点为线段的中点，点
为线段的中点，
所以，因为
平面，
平面，所以平面.
因为，且
平面，
平面，所以平面.
因为
平面
，
平面，
，
所以平面平面.
（2）证明：因为点在以为直径的上，所以
，即.
因为平面，
平面，所以.
因为平面，平面，
，所以平面.
因为平面
，所以平面平面.
（3）解：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以
，
.
延长
交于点
.因为，
所以
，
，
.
所以
，
，
，
.
所以
，
.
设平面的法向量
.
因为
，所以
，即
.
令
，则
，
.
所以.
同理可求平面的一个法向量.
所以.由图可知为锐角，所以.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知圆
，点
，直线
.
（1）求与圆相切，且与直线
垂直的直线方程；
（2）在直线
上（为坐标原点），存在定点
（不同于点
），满足：对于圆上任一点
，都有
为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.
【答案】(1)
；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：
（1）设所求直线方程为
，利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程，解方程可得
，则所求直线方程为
（2）方法1：假设存在这样的点
，由题意可得
，则
，然后证明
为常数
为即可.
方法2：假设存在这样的点，使得为常数
，则
，据此得到关于
的方程组，求解方程组可得存在点
对于圆
上任一点
，都有为常数.
试题解析：
（1）设所求直线方程为，即
，
∵直线与圆相切，∴
，得，
∴所求直线方程为
（2）方法1：假设存在这样的点，
当为圆与
轴左交点
时，
；
当为圆与轴右交点
时，
，
依题意，，解得，
（舍去），或.
下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数.
设
，则
，
∴
，
从而
为常数.
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴
，将代入得，
，即
对
恒成立，
∴
，解得
或
（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数.
