题目内容
【题目】已知函数 .
(1)当 时,讨论
的极值情况;
(2)若 ,求
的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)求导,因为得
或
,讨论两根的大小,得出各种情况下的极值(2) 令
,得
,分类讨论(1)中的情况,从而得出结果
解析:(1)
.
因为,由
得,
或
.
①当时,
,
单调递增,故
无极值.
②当时,
.
,
,
的关系如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
故有极大值
,极小值
.
③当时,
.
,
,
的关系如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
故有极大值
,极小值
.
综上:当时,
有极大值
,极小值
;
当时,
无极值;
当时,
有极大值
,极小值
.
(2)令,则
.
(i)当时,
,
所以当时,
,
单调递减,
所以,此时
,不满足题意.
(ii)由于与
有相同的单调性,因此,由(Ⅰ)知:
①当时,
在
上单调递增,又
,
所以当时,
;当
时,
.
故当时,恒有
,满足题意.
②当时,
在
单调递减,
所以当时,
,
此时,不满足题意.
③当时,
在
单调递减,
所以当时,
,
此时,不满足题意.
综上所述:.
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