题目内容
【题目】函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)<1.
（1）试判断f(x)在R上的单调性，并加以证明；
（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2
（3）若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】（1）f(x)在R上为减函数.证明见解析
（2）
（3）
【解析】
根据函数单调性的定义，结合已知条件转化证明f(x)在R上为减函数。
利用已知条件通过f(3)＝4，求出
，然后再利用函数的单调性解不等式f(a2＋a－5)<2。
根据题意关于
的不等式
在
上有解，法一，结合函数的单调性，可转化为
有解，即
有解，利用换元法，令
，将其转化为一元二次不等式有解，结合二次函数的性质，进行求解即可；法二，分离参数，得到
，利用换元法，令，得
，结合对号函数的性质即可解出实数
的取值范围。
解：(1) f(x)在R上为减函数.
证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)<1
∴f(x2－x1)<1.
f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1<0f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数.
(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，
∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4f(2＋1)＝4f(2)＋f(1)－1＝43f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)，
∵f(x)在R上为减函数，
∴a2＋a－5>1a＜－3或a>2，即a∈
(3)法一：由题意得：，因为
在R上为减函数.
，即，
令，则
，即
在
上有解，
设
，因为
，结合图像可知：
，即
，解得：
法二：由题意得：，因为在R上为减函数.
，即
，
令，则，
在
上有解，
由对勾函数可知
【题目】某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18 秒之间，利用分层抽样的方法抽取其中若干个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14），第二组[14,15），…，第五组[17,18]，有关数据见下表：
各组组员数 | 各组抽取人数 | |
[13,14） | 54 | a |
[14,15） | b | 8 |
[15,16） | 342 | 19 |
[16,17） | 288 | c |
[17,18] | d |
（1）求a,b,c,d的值；
（2）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽一个同学组成一个新的组，求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率。
【题目】为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了
组昼夜温差与
颗种子发芽数，得到如下资料：
组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取
组数据求出线性回归方程，再用没选取的
组数据进行检验.
（1）若选取的是第
组的数据，求出
关于
的线性回归方程
；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：
，
）
