Question

【题目】【2018广东深圳市高三一模】已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点．

（I）求椭圆的方程和点的坐标；

（II） 为坐标原点，与平行的直线与椭圆交于不同的两点， ，求的面积最大时直线的方程．

Answer 1

【答案】（I）椭圆的方程为，点的坐标为；（II）或．

【解析】试题分析：(1) 根据椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；(2) 设直线的方程为，设， ，联立消去，利用韦达定理，弦长公式以及点到直线距离公式与三角形面积公式可得，利用二次函数的性质可得结果.

试题解析：(1)由，得，故.

则椭圆的方程为.

由，消去，得.①

由，得.

故椭圆的方程为.

所以，所以点的坐标为；

(2)设直线的方程为，

设， ，联立消去，得，

则有，

由，得，

.

设原点到直线的距离为.

则.

所以.

所以当时，即时， 的面积最大.

所以直线的方程为或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.