如图.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.F1.F2为其左.右焦点.过F1的直线l交椭圆于A.B两点.△F1AF2的周长为$2$．(1)求椭圆的标准方程,(2)求△AOB面积的最大值,(3)直线m也过F1与且与椭圆交于C.D两点.且l⊥m.设线段AB.CD的中点分别为M.N两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁、F₂为其左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆于A、B两点，△F₁AF₂的周长为$2（\sqrt{2}+1）$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）；
（3）直线m也过F₁与且与椭圆交于C、D两点，且l⊥m，设线段AB、CD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

分析（1）设椭圆的半焦距为c，利用离心率以及△F₁AF₂的周长，解得a，c，然后求解椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：（k²+2）y²-2ky-1=0求出A，B的纵坐标，表示出三角形的面积公式，化简整理，通过基本不等式求出最值．
（3）过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky-1，直线m的方程为：$x=-\frac{1}{k}y-1$，求出M坐标，可得直线MN的方程，利用直线系推出结果即可．

解答解：（1）设椭圆的半焦距为c，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由题意知 $2（{a+c}）=2（{\sqrt{2}+1}）$，
二者联立解得$a=\sqrt{2}$，c=1，则b²=1，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（4分）
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：（k²+2）y²-2ky-1=0，△=（-2k）²+4（k²+2）=8k²+8＞0，${y_1}=\frac{{2k+\sqrt{8{k^2}+8}}}{{2（{{k^2}+1}）}}$，${y_2}=\frac{{2k-\sqrt{8{k^2}+8}}}{{2（{{k^2}+1}）}}$，…（6分）
所以${S_{△AOB}}={S_{△AOF}}+{S_{△BOF}}=\frac{1}{2}|{O{F_1}}||{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{8{k^2}+8}}}{{{k^2}+2}}$=$\sqrt{2}\frac{{\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+2}}$，…（7分）=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{（{{k^2}+2}）}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{[{（{{k^2}+1}）+1}]}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{（{{k^2}+1}）}^2}+2（{{k^2}+1}）+1}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{（{{k^2}+1}）+\frac{1}{{{k^2}+1}}+2}}}$$≤\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2+2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（当且仅当${k^2}+1=\frac{1}{{{k^2}+1}}$，
即k=0时等号成立），所以△AOB面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…．（10分）
（3）过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．
在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky-1，
直线m的方程为：$x=-\frac{1}{k}y-1$，
由（2）得，${y_M}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{k}{{{k^2}+2}}$，
故${x_M}=k\frac{k}{{{k^2}+2}}-1=\frac{-2}{{{k^2}+2}}$，即$M（{\frac{-2}{{{k^2}+2}}，\frac{k}{{{k^2}+2}}}）$，
则$N（{\frac{{-2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-k}{{2{k^2}+1}}}）$…．（12分）
可得直线MN的方程：$y+\frac{k}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\frac{k}{{{k^2}+2}}-\frac{-k}{{2{k^2}+1}}}}{{\frac{-2}{{{k^2}+2}}-\frac{{-2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}}（{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）$，
即$y+\frac{k}{{2{k^2}+1}}=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}（{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）$，则$y=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}（{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）-\frac{k}{{2{k^2}+1}}$$y=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}[{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}-\frac{k}{{2{k^2}+1}}•\frac{{2（{{k^2}-1}）}}{3k}}]$，即$y=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}（{x+\frac{2}{3}}）$，
故直线MN过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$（或令y=0，即得$x=-\frac{2}{3}$）
易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．
综上，直线MN过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$…（14分）

点评本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．

练习册系列答案

17．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其焦距为2c，长轴长是焦距的$\sqrt{5}$倍，b，c的一个等比中项为$2\sqrt{2}$，则c=2．

14．提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．

1．

如图，从椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭圆的离心率为（　　）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

C．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

D．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

11．不等式$\frac{x-3}{x+2}$≤0的解集为（　　）

18．函数y=f（x）的图象如图所示，则以下描述正确的是（　　）

	A．	函数f（x）的定义域为[-4，4）
	B．	函数f（x）的值域为[0，5]
	C．	此函数在定义域内既不是增函数也不是减函数
	D．	对于任意的y∈[0，+∞），都有唯一的自变量x与之对应

15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：
①f（x）=sin$\frac{π}{2}$x；②f（x）=2x²-1；③f（x）=|1-2^x|；④f（x）=log₂（2x-2）．
其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为①②③．

16．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），则下列说法中不正确的是（　　）

	A．	由样本数据得到的回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$必过样本中心（$\overline{x}$，$\overline{y}$）
	B．	残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
	C．	用相关指数R²来刻画回归效果，R²越小，说明模型的拟合效果越好
	D．	两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

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