题目内容

6．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F1、F2为其左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，△F1AF2的周长为$2（\sqrt{2}+1）$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）；
（3）直线m也过F1与且与椭圆交于C、D两点，且l⊥m，设线段AB、CD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

分析 （1）设椭圆的半焦距为c，利用离心率以及△F1AF2的周长，解得a，c，然后求解椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：（k2+2）y2-2ky-1=0求出A，B的纵坐标，表示出三角形的面积公式，化简整理，通过基本不等式求出最值．
（3）过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky-1，直线m的方程为：$x=-\frac{1}{k}y-1$，求出M坐标，可得直线MN的方程，利用直线系推出结果即可．

解答 解：（1）设椭圆的半焦距为c，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由题意知 $2（{a+c}）=2（{\sqrt{2}+1}）$，
二者联立解得$a=\sqrt{2}$，c=1，则b2=1，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（4分）
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：（k2+2）y2-2ky-1=0，△=（-2k）2+4（k2+2）=8k2+8＞0，${y_1}=\frac{{2k+\sqrt{8{k^2}+8}}}{{2（{{k^2}+1}）}}$，${y_2}=\frac{{2k-\sqrt{8{k^2}+8}}}{{2（{{k^2}+1}）}}$，…（6分）
所以${S_{△AOB}}={S_{△AOF}}+{S_{△BOF}}=\frac{1}{2}|{O{F_1}}||{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{8{k^2}+8}}}{{{k^2}+2}}$=$\sqrt{2}\frac{{\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+2}}$，…（7分）=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{（{{k^2}+2}）}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{[{（{{k^2}+1}）+1}]}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{（{{k^2}+1}）}^2}+2（{{k^2}+1}）+1}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{（{{k^2}+1}）+\frac{1}{{{k^2}+1}}+2}}}$$≤\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2+2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（当且仅当${k^2}+1=\frac{1}{{{k^2}+1}}$，
即k=0时等号成立），所以△AOB面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…．（10分）
（3）过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上．
在k≠0，k≠±1的情况下，设直线l的方程为：x=ky-1，
直线m的方程为：$x=-\frac{1}{k}y-1$，
由（2）得，${y_M}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{k}{{{k^2}+2}}$，
故${x_M}=k\frac{k}{{{k^2}+2}}-1=\frac{-2}{{{k^2}+2}}$，即$M（{\frac{-2}{{{k^2}+2}}，\frac{k}{{{k^2}+2}}}）$，
则$N（{\frac{{-2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{-k}{{2{k^2}+1}}}）$…．（12分）
可得直线MN的方程：$y+\frac{k}{{2{k^2}+1}}=\frac{{\frac{k}{{{k^2}+2}}-\frac{-k}{{2{k^2}+1}}}}{{\frac{-2}{{{k^2}+2}}-\frac{{-2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}}（{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）$，
即$y+\frac{k}{{2{k^2}+1}}=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}（{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）$，则$y=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}（{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}}）-\frac{k}{{2{k^2}+1}}$$y=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}[{x+\frac{{2{k^2}}}{{2{k^2}+1}}-\frac{k}{{2{k^2}+1}}•\frac{{2（{{k^2}-1}）}}{3k}}]$，即$y=\frac{3k}{{2（{{k^2}-1}）}}（{x+\frac{2}{3}}）$，
故直线MN过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$（或令y=0，即得$x=-\frac{2}{3}$）
易验证当k=0，k=±1时，结论仍成立．
综上，直线MN过定点$（{-\frac{2}{3}，0}）$…（14分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．

练习册系列答案
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