题目内容

14．提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．

分析 （I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在30≤x≤180时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（II）由（Ⅰ）可知函数f（x）的表达式，分段求最值，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=50；
当30≤x≤180时，设v（x）=ax+b，
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{180a+b=0}\\{30a+b=50}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=60}\end{array}\right.$．
所以函数υ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50，}&{0＜x＜30}\\{-\frac{1}{3}x+60，}&{30≤x≤180}\end{array}\right.$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{50x，}&{0＜x＜30}\\{-\frac{1}{3}{x}^{2}+60x，}&{30≤x≤180}\end{array}\right.$
当0≤x≤30时，f（x）=50x为增函数，
∴当x=30时，其最大值为1500．
当30≤x≤180时，f（x）=-$\frac{1}{3}$x2+60x=-$\frac{1}{3}$（x-90）2+2700，
当x=90时，其最大值为2700，
综上，当车流密度为90辆/千米时，车流量最大，最大值为2700辆．

点评 本题给出车流密度的实际问题，求车流量的最大值及相应的车流密度，着重考查了函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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