题目内容
3.已知$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$,|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{1}{t}$,|$\overrightarrow{AC}$|=t,t∈[$\frac{1}{4}$,4];若P是△ABC所在平面内一点,且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$,则$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的取值范围是( )A. | [13,17] | B. | [12,13] | C. | [$\frac{3}{4}$,12] | D. | [$\frac{3}{4}$,13] |
分析 建立直角坐标系,由向量的坐标运算易得P的坐标,可化$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$为 17-($\frac{1}{t}$+4t),再利用基本不等式求得它的最大值,由端点处的函数值,可得最小值,进而得到所求范围.
解答 解:由题意建立如图所示的坐标系,
可得A(0,0),B($\frac{1}{t}$,0),C(0,t),
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$=(1,0)+(0,4)=(1,4),
∴P(1,4),
∴$\overrightarrow{PB}$=($\frac{1}{t}$-1,-4),$\overrightarrow{PC}$=(-1,t-4),
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-($\frac{1}{t}$-1)-4(t-4)=17-($\frac{1}{t}$+4t)≤17-2$\sqrt{\frac{1}{t}•4t}$=13,
当且仅当$\frac{1}{t}$=4t,即t=$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{4}$,4],时,取等号,
由t=4可得17-(16+$\frac{1}{4}$)=$\frac{3}{4}$,由t=$\frac{1}{4}$可得17-(1+4)=12,
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$的最大值为13,最小值为$\frac{3}{4}$.
则$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$的范围是[$\frac{3}{4}$,13].
故选:D.
点评 本题考查平面向量数量积的运算,注意运用坐标法的运用,涉及对勾函数的最值和基本不等式的运用,属中档题.
A. | x=2-y | B. | x=y-2 | C. | y=2-x,x∈R | D. | y=x-2,x∈R |
A. | 30° | B. | 60° | C. | 30°或150° | D. | 60°或120° |