题目内容

已知函数f(x)=xlnx-x2.
(1)当a=1时,函数y=f(x)有几个极值点?
(2)是否存在实数a,使函数f(x)=xlnx-x2有两个极值?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1)0个极值点   (2)(0,1)
解:(1)当a=1时,f(x)=xlnx-x2,f′(x)=lnx+1-x.
由于极值点的导数值等于0,故要研究函数g(x)=f′(x)=lnx+1-x的零点的情况.
g′(x)=-1,
当x∈(0,1)时,g′(x)=-1>0;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)=-1<0.
∴g(x)=lnx+1-x在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴g(x)max=g(1)=ln1+1-1=0,即f′(x)≤0.
故f′(x)=lnx+1-x只有一个零点x=1,且在x=1两侧都有f′(x)<0,故x=1不是极值点.
∴函数y=f(x)有0个极值点.
(2)f′(x)=lnx+1-ax,
函数f(x)=xlnx-x2有两个极值?方程f′(x)=lnx+1-ax=0在(0,+∞)上有两个不等实根,且每一根两侧的导数f′(x)值异号?直线y=a与曲线h(x)=有两个交点.
h′(x)=,当x∈(0,1)时,h′(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,且当x→+∞时,h(x)→0.
∴当x=1时,h(x)max=1,其图象大致是:

由图可知a的取值范围是(0,1).
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