题目内容

函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
(1)a≥1时,在(-,+)是增函数;0<a<1时, f(x)在(-,x2),(x1,+)上是增函数;f(x)在(x2,x1)上是减函数;(2)

试题分析:(1)首先求出函数的导数,然后求出是的解集即可.
(2)分类讨论在区间(1,2)上使成立的条件,并求出参数a的取值范围即可
试题解析:(1)的判别式△=36(1-a).
(i)若a≥1,则,且当且仅当a=1,x=-1,故此时f(x)在R上是增函数.
(ii)由于a≠0,故当a<1时,有两个根:
若0<a<1,则当x∈(-,x2)或x∈(x1,+)时,,故f(x)在(-,x2),(x1,+)上是增函数;
当x∈(x2,x1)时,,故f(x)在(x2,x1)上是减函数;
(2)当a>0,x>0时, ,所以当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.
若a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当,解得.
综上,a的取值范围是.
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