Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，右顶点为（2，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线l₁：y=kx+m（k≠0，m≠0）与椭圆C相交于不同的两点A，B，过AB的中点M作垂直于l₁的直线l₂，设l₂与椭圆C相交于不同的两点C，D，且CD的中点为N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设原点O到直线l₁的距离为d，求$\frac{{|{MN}|}}{d}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点的坐标，再设直线CD的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式和点到直线的距离公式，再由二次函数的最值，即可得到范围．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$得a=2，c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}.\end{array}\right.$，
故$M（-\frac{4mk}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}）$，
l₂：y-$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4mk}{1+4{k}^{2}}$），即$y=-\frac{1}{k}x-\frac{3m}{{1+4{k^2}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{k}x-\frac{3m}{{1+4{k^2}}}\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（1+\frac{4}{k^2}）{x^2}+\frac{24m}{{k（1+4{k^2}）}}x+\frac{{36{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}-4=0$，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则${x_3}+{x_4}=-\frac{24mk}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$，
故$N（-\frac{12mk}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}，-\frac{{3m{k^2}}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}）$，
故$|{MN}|=|{x_M}-{x_N}|\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$=$\frac{{4|m|（{k^2}+1）\sqrt{{k^2}+1}}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$，
又$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
所以$\frac{{|{MN}|}}{d}$=$\frac{{4{{（{k^2}+1）}^2}}}{{（1+4{k^2}）（{k^2}+4）}}$．
令t=k²+1（t＞1），
则$\frac{{|{MN}|}}{d}$=$\frac{{4{t^2}}}{{4{t^2}+9t-9}}=\frac{4}{{-\frac{9}{t^2}+\frac{9}{t}+4}}=\frac{4}{{-9{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{25}{4}}}$$∈[\frac{16}{25}，1）$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线的位置关系，考查运算能力，属于中档题．