Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+{b^2}$x，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则使函数f（x）有极值点的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a，b的关系，根据古典概型求出概率即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+{b^2}$x有两个极值点，
∴f′（x）=x²+2ax+b²有两个不同的根，
即判别式△=4a²-4b²＞0，
即当a＞b，该函数有两个极值点，
a从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数的基本事件有9种，
满足a＞b的基本事件有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故函数有两个极值点的概率为P=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查古典概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a，b的关系是解决本题的关键．