题目内容

14.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴非负半轴为极轴极坐标,曲线C1的方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$(α为参数),曲线C2的方程:$ρ=\frac{8}{sin(θ+\frac{π}{4})}$.
(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标系方程;
(2)从C2上任意一点P作曲线C1的切线,设切点为Q,求切线长PQ的最小值及此时点P的极坐标.

分析 (I)利用sin2α+cos2α=1可把曲线曲线C1的方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$(α为参数),化为直角坐标方程.由曲线C2的方程:$ρ=\frac{8}{sin(θ+\frac{π}{4})}$.展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}(ρcosθ+ρsinθ)=8$,代入$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$,即可化为直角坐标方程.
(II)根据题意设曲线C1的圆心为M,则|PQ|=$\sqrt{|PM{|}^{2}-1}$,当|PQ|最短时,|PM|最小,当PM⊥C2时,|PM|最短,利用点到直线的距离公式距离可得|PM|,即可得出.

解答 解:(I)曲线C1的方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}+cosα}\\{y=\sqrt{2}+sinα}\end{array}\right.$(α为参数),可得$(x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=1$.
由曲线C2的方程:$ρ=\frac{8}{sin(θ+\frac{π}{4})}$.展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}(ρcosθ+ρsinθ)=8$,化为x+y-8$\sqrt{2}$=0.
(II)根据题意设曲线C1的圆心为M,则|PQ|=$\sqrt{|PM{|}^{2}-1}$,当|PQ|最短时,|PM|最小,
当PM⊥C2时,|PM|最短,此时|PM|=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=6,
此时PM的直线方程为y=x,可得P$(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$.
化为极坐标P$(8,\frac{π}{4})$,|PQ|的最小值=$\sqrt{{6}^{2}-1}$=$\sqrt{35}$.

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、勾股定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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