题目内容

15．已知{an}的前n项和为Sn，且Sn+$\frac{1}{2}$an=1（n∈N+）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=log3（1-Sn+1），n∈N+，Tn=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，求使Tn＞$\frac{100}{201}$成立的最小的正整数n的值．

分析 （1）通过Sn+$\frac{1}{2}$an=1与Sn+1+$\frac{1}{2}$an+1=1作差，整理得an+1=$\frac{1}{3}•$an，进而可得结论；
（2）通过an=$\frac{2}{{3}^{n}}$可知Sn=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，进而bn=-n-1，n∈N+，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，并项相加可知Tn=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，问题转化为解不等式$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＞$\frac{100}{201}$，计算即得结论．

解答 解：（1）∵Sn+$\frac{1}{2}$an=1（n∈N+），
∴Sn+1+$\frac{1}{2}$an+1=1，
两式相减得：an+1+$\frac{1}{2}$（an+1-an）=0，
整理得：an+1=$\frac{1}{3}•$an，
又∵a1+$\frac{1}{2}$a1=1，即a1=$\frac{2}{3}$，
∴数列{an}是以$\frac{2}{3}$为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴an=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）∵an=$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴Sn=1-$\frac{1}{2}$an=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴bn=log3（1-Sn+1）=$lo{g}_{3}[1-（1-\frac{1}{{3}^{n+1}}）]$=-n-1，n∈N+，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{-（n+1）[-（n+2）]}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
Tn=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴Tn＞$\frac{100}{201}$即$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＞$\frac{100}{201}$，
整理得：n＞400，
∴最小的正整数n=401．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

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82202352321252932938628206
3233553573332511323329450296
11523635732652301140328238358
58255143360340302370343260303
591466026317030538034661305
17534826438362306195350265385
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年份代号t1  2  3  4  5  67
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