题目内容

20.若存在实数a,对任意实数x∈[0.m],均有(sinx-a)(cosx-a)≤0,则实数m的最大值是(  )
A.$\frac{π}{4}$B.$\frac{π}{2}$C.$\frac{3π}{4}$D.$\frac{5π}{4}$

分析 根据已知不等式得到,$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≤0}\\{cosx-a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≥0}\\{cosx-a≤0}\end{array}\right.$,利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可.

解答 解:∵(sinx-α)(cosx-α)≤0,
∴,$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≤0}\\{cosx-a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinx-a≥0}\\{cosx-a≤0}\end{array}\right.$,
∴sinx≤a≤cosx,或sinx≥a≥cosx;
当x∈[0,$\frac{π}{4}$]时sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤cosx;
当x∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{3π}{4}$]时cosx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinx,
∴m的最大值是$\frac{3π}{4}$.
故选:C.

点评 本题考查了三角函数的最值.三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值,涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象.

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