Question

【题目】已知数列满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，

（1）证明:是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明: .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析。

【解析】

（1）要证明数列是等比数列，应在an＋1＝3an＋2中找到数列中两项之间的关系，用等比数列定义可证数列是等比数列。用等比数列的通项公式可得数列的通项公式，进而可得的通项公式。（2）由(1)可知,可知数列既不是等差数列也不是等比数列，所以用放缩法可得≤ ，进而可得＋＋…＋≤(1＋＋…＋)，根据等比数列前n项和公式求和，即可证得结论。

(1)证明：由an＋1＝3an＋2，

得an＋1＋1＝3.

又a1＋1＝3，

所以是首项为3，公比为3的等比数列.

∴an＋1＝，

因此{an}的通项公式为an＝

(2)解： 由(1)知,

因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，

所以≤

于是＋＋…＋≤(1＋＋…＋)＝<.

所以＋＋…＋<.