题目内容
【题目】已知函数f(x)= ,曲线f(x)=
在点(e,f(e))处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直.(注:e为自然对数的底数) (Ⅰ)若函数f(x)在区间(m,m+1)上存在极值,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)求证:当x>1时, >
.
【答案】解:(Ⅰ) 因为f(x)= ,所以f′(x)=
,(1分) 又据题意,得f′(e)=﹣
,所以﹣
=﹣
,所以a=1.
所以f(x)= ,所以f′(x)=﹣
(x>0).
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为减函数.
所以函数f(x)仅当x=1时,取得极值.
又函数f(x)在区间(m,m+1)上存在极值,
所以m<1<m+1,所以0<m<1.
故实数m的取值范围是(0,1).
(Ⅱ)证明:当x>1时, >
,即为
>>
,
令g(x)= ,则g′(x)=
,
再令φ(x)=x﹣ln x,则φ′(x)=1﹣ =
.
又因为x>1,所以φ′(x)>0.所以φ(x)在(1,+∞)上是增函数.
又因为φ(1)=1.所以当x>1时,g′(x)>0.所以g(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
所以当x>1时,g(x)>g(1),又g(1)=2,故 >
.
令h(x)= ,则h′(x)=
,
因为x>1,所以 <0.所以当x>1时,h′(x)<0.
故函数h(x)在区间(1,+∞)上是减函数.又h(1)= ,
所以当x>1时,h(x)< ,所以
>h(x),即
>
.
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,求出a的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出m的范围即可;(Ⅱ)问题转化为
>
,令g(x)=
,令h(x)=
,根据函数的单调性证明即可.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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