题目内容

【题目】(本小题满分16分)平面直角坐标系xoy中,直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为

1)求圆O的方程;

2)若直线与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于DE,当DE长最小时,求直线的方程;

3)设MP是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MPNP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。

【答案】(1)x2y2=2.(2)xy-2=0.(3)见解析

【解析】

(1)求出O点到直线x﹣y+1=0的距离,进而可求圆O的半径,即可得到圆O的方程;(2)设直线l的方程,利用直线l与圆O相切,及基本不等式,可求DE长最小时,直线l的方程;(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1), ,求出直线MP、NP分别与x轴的交点,进而可求mn的值.

(1)因为O到直线xy+1=0的距离为

所以圆O的半径r故圆O的方程为x2y2=2.

(2)设直线l的方程为=1(a>0,b>0),即bxayab=0,

由直线l与圆O相切,得,即

所以DE2a2b2=2(a2b2)(

=2≥2

=8(当且仅当ab=2时等号成立),

此时直线l的方程为xy-2=0.

(3)设M(x1y1),P(x2y2),

N(x1,-y1),xy=2,xy=2,

直线MPx轴的交点为,即m .

直线NPx轴的交点为,即n.

所以mn

=2,

mn=2为定值.

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