题目内容
【题目】(本小题满分16分)平面直角坐标系xoy中,直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为
(1)求圆O的方程;
(2)若直线与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D,E,当DE长最小时,求直线的方程;
(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。
【答案】(1)x2+y2=2.(2)x+y-2=0.(3)见解析
【解析】
(1)求出O点到直线x﹣y+1=0的距离,进而可求圆O的半径,即可得到圆O的方程;(2)设直线l的方程,利用直线l与圆O相切,及基本不等式,可求DE长最小时,直线l的方程;(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,﹣y1), ,,求出直线MP、NP分别与x轴的交点,进而可求mn的值.
(1)因为O到直线x-y+1=0的距离为 ,
所以圆O的半径r==,故圆O的方程为x2+y2=2.
(2)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,
由直线l与圆O相切,得=,即=,
所以DE2=a2+b2=2(a2+b2)()
=2≥2
=8(当且仅当a=b=2时等号成立),
此时直线l的方程为x+y-2=0.
(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),
则N(x1,-y1),x+y=2,x+y=2,
直线MP与x轴的交点为,即m= .
直线NP与x轴的交点为,即n=.
所以mn= =
===2,
故mn=2为定值.
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