题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点
,焦点在
轴上,离心率为
,右焦点到右顶点的距离为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在与椭圆交于
两点的直线
,使得
成立?若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】试题分析:(1)由已知条件推导出,
,由此能求出椭圆
的标准方程;(2)直线
与椭圆方程联立方程,得到关于
的一元二次方程,由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数
的取值范围.
试题解析:(1)设椭圆的方程为
,半焦距为
.依题意
,
由右焦点到右顶点的距离为,得
解得
.所以
,所以椭圆
的标准方程是
.
(2)解:存在直线,使得
成立.理由如下:
由得
.
,化简得
.
设,则
.
若,所以
,
,
,
,
化简得,,将
代入
中,
,
解得.又由
,
,
从而,
或
,所以实数
的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著,为了解学生的阅读情况,对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:
阅读名著的本数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
男生人数 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 |
女生人数 | 1 | 3 | 3 | 1 | 2 |
(1)试根据上述数据,求这个班级女生阅读名著的平均本数;
(2)若从阅读本名著的学生中任选
人交流读书心得,求选到男生和女生各
人的概率;
(3)试比较该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差
的大小(只需写出结论).