Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）分别证明和即可；

（Ⅱ）以B为坐标原点，分别以，BC所在的直线为x轴和z轴，以过B点垂直平面的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图所示，首先算出平面的法向量的坐标，为平面的一个法向量，然后由二面角的余弦值为求出，然后可算出三棱锥的体积.

（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以．

因为平面，平面，所以．

又因为，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）以B为坐标原点，分别以，BC所在的直线为x轴和z轴，

以过B点垂直平面的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图所示．

设，则，，，

．所以，．

设平面的法向量为，则

即令，得．

由条件知为平面的一个法向量．

设二面角的平面角为，易知为锐角．

则，解得．

所以．