Question

18．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA₁′分别交BB₁，CC₁于点P，Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上是否存在一点M，满足BM∥平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据AB，BC，AC三边满足AC²=AB²+BC²，可知AB⊥BC，而AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁，根据线面垂直的性质可知AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上取点M，使得AM：MC=3：4，过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，从而四边形PBMN为平行四边形，对边平行BM∥PN，由线面平行的判定定理得BM∥平面APQ．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，
所以AC=5，从而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．（3分）
又因为AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁
所以AB⊥PQ （6分）
（Ⅱ）在底边AC上存在一点M，使得AM：MC=3：4，满足BM∥平面APQ，
证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
∵AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴BM∥PN，
∴BM∥平面APQ，
∴BM∥平面APQ，此时有$\frac{AM}{MC}$=$\frac{3}{4}$．（12分）

点评 本题主要考查了空间两直线的位置关系的判定，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了学生转化的能力．属于中档题．