Question

13．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{{c{a_{n-1}}+1}}$（c为常数，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不为l的等比数列．
（I）求证：{$\frac{1}{a_n}$}为等差数列，并求c的值；
（Ⅱ）设{b_n}满足b₁=$\frac{2}{3}$，b_n=a_n-1a_n+1（n≥2，n∈N*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得 a_n≠0，化简条件可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=c，可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，由等差数列的定义求出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，由 a₂²=a₁a₅ 解得c的值；
（Ⅱ）先求出{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{1}{（2n-3）（2n+1）}$（n≥2），用裂项法求出{b_n}的前n项和s_n．

解答 解：（Ⅰ）证明：由题意可得 a_n≠0．否则，若存在a_n=0（n＞1）．
由递增式必有a_n-1=0，从而导致a₁=0，这与a₁=1矛盾．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=c，故{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以c为公差，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1为首项的等差数列．
故$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）c，∴a_n=$\frac{1}{1+（n-1）c}$．
从而a₂=$\frac{1}{1+c}$，a₅=$\frac{1}{1+4c}$，
由 a₂²=a₁a₅ 解得c=2或c=0．
当c=0时，a₁=a₂=a₅，舍去．故取c=2．
（Ⅱ）a_n=$\frac{1}{2n-1}$，故对{b_n}：b₁=$\frac{2}{3}$，
b_n=$\frac{1}{（2n-3）（2n+1）}$（n≥2），
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
当n≥2时，S_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）
+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{11}$）+…+（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-1}$）+（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=1-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=1-$\frac{n}{4{n}^{2}-1}$．
当n=1时，$1-\frac{n}{{4{n^2}-1}}=\frac{2}{3}$，
所以${S_n}=1-\frac{n}{{4{n^2}-1}}（n∈{N^*}）$．

点评 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，求出S_n的值，是解题的难点，属于中档题．