Question

8．已知等边△ABC边长为4，动点P满足PA²+PB²=12，则线段PC长度的取值范围是[$2\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 利用平面直角坐标系，求出C的坐标，P的轨迹方程，然后求解线段PC长度的取值范围．

解答 解：如图：以AB所在直线为x轴，中垂线为y轴，则a（-2，0），B（2，0），C（0，2$\sqrt{3}$）．
设P（x，y）．
动点P满足PA²+PB²=12，
可得（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=12，解得x²+y²=2，P的轨迹是一原点为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．
线段PC长度的最小值为：2$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
线段PC长度的最大值为：2$\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
线段PC长度的取值范围是：[$2\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}+\sqrt{2}$]．
故答案为：：[$2\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}+\sqrt{2}$]．

点评 本题考查才的应用，点与圆的位置关系的应用，考查计算能力．