Question

10．设f_n（x）=（1+x）ⁿ，n∈N^*
（1）若g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x），求g（x）中含x⁶项的系数；
（2）若h（x）=f_n（x）+f_n（$\frac{1}{x}$），求h₂₀₁₁（x）在区间[$\frac{1}{3}$，2]上的最大值与最小值；
（3）证明：C^m_m+2C^m_m+1+3C^m_m+2+…+nC^m_m+n-1=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•C^m+1_m+n（m，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由条件求得g（x）的解析式，可得g（x）中含x⁶项的系数．
（2）化简h₂₀₁₁（x）可得它在（0，1）上递减，（1，+∞）递增，由此求得它在区间[$\frac{1}{3}$，2]上的最值．
（3）设m（x）=（1+x）^m+2•（1+x）^m+1+3•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n-1…①，则（1+x）m（x）=（1+x）^m+1+2•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n…②，两式相减求得 x²•m（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx•（1+x）^m+n，故m（x）中含x^m项的系数即 x²•m（x）中含x^m+2项的系数．再利用组合数的计算公式证得结论成立．

解答 解：（1）∵f_n（x）=（1+x）ⁿ，n∈N^*，故g（x）=f₆（x）+2f₇（x）+3f₈（x）
=（1+x）⁶ +2（1+x）⁷+3（1+x）⁸ ，
故g（x）中含x⁶项的系数为${C}_{6}^{6}$+2${C}_{7}^{6}$+3${C}_{8}^{6}$=99．
（2）h₂₀₁₁（x）=（1+x）²⁰¹¹ +${（1+\frac{1}{x}）}^{2011}$=（${C}_{2011}^{0}$+${C}_{2011}^{0}$）+（${C}_{2011}^{1}$•x+${C}_{2011}^{1}$•$\frac{1}{x}$）
+（${C}_{2011}^{2}$•x²+${C}_{2011}^{2}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$）+…+（${C}_{2011}^{2011}$•x²⁰¹¹+${C}_{2011}^{2011}$•$\frac{1}{{x}^{2011}}$），
展开式中所有${{C}_{2011}^{k}{x}^{k}}^{\;}$+${C}_{2011}^{k}（\frac{1}{x}）^{k}$组合都是（0，1）上递减，（1，+∞）递增，
在区间[$\frac{1}{3}$，2]上，
故当x=1时，h₂₀₁₁（x）取得最小值为h₂₀₁₁（1）=2•2²⁰¹¹=2⁴⁰²²，当x=$\frac{1}{3}$时，h₂₀₁₁（x）取得最大值
为h₂₀₁₁（$\frac{1}{3}$）=${（\frac{4}{3}）}^{2011}$+4²⁰¹¹．
（3）证明：设m（x）=（1+x）^m+2•（1+x）^m+1+3•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n-1…①，
则m（x）中含x^m 项的系数为${C}_{m}^{m}$+2${C}_{m+1}^{m}$+3•${C}_{m+2}^{m}$+…+n${C}_{m+n-1}^{m}$．
（1+x）m（x）=（1+x）^m+1+2•（1+x）^m+2+…+n•（1+x）^m+n…②，
①-②可得-xm（x）=（1+x）^m+（1+x）^m+1+（1+x）^m+2+…+（1+x）^m+n-1-n•（1+x）^m+n，
=$\frac{{（1+x）}^{m}•[1{-（1+x）}^{n}]}{1-（1+x）}$-n•（1+x）^m+n，
∴x²•m（x）=（1+x）^m-（1+x）^m+n+nx•（1+x）^m+n，
故m（x）中含x^m项的系数即 x²•m（x）中含x^m+2项的系数，
而x²•m（x）中含x^m+2项的系数为-${C}_{m+n}^{m+2}$+n•${C}_{m+n}^{m+1}$=-$\frac{（m+n）!}{（m+2）!（n-2）!}$+$\frac{n（m+n）!}{（m+1）!（n-1）!}$
=$\frac{-（n-1）+n（m+2）}{m+2}$•$\frac{（m+n）!}{（m+1）!（n-1）!}$=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•${C}_{m+n}^{m+1}$，
∴C^m_m+2C^m_m+1+3C^m_m+2+…+nC^m_m+n-1=$\frac{（m+1）n+1}{m+2}$•C^m+1_m+n（m，n∈N^*）．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的同项公式，组合数的计算公式的应用，属于难题．