Question

【题目】已知双曲线的两个焦点坐标分别为和，双曲线的一条切线与轴交于，且斜率为2.

（1）求双曲线的方程；

（2）若切线与双曲线的切点为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

解法1 设双曲线方程为.

由于其与直线，即相切，

则联立方程组只有唯一一组解.

故关于的方程①有两个相等的实根，其判别式，即

.②

由双曲线的两个焦点坐标得其半焦距为.

则.

与式②联立解得，.

因此，双曲线方程为，且式①关于的方程变为

.

代入，得.

这表明，切点.

因此，直线的斜率为，其中，是切线的斜率.

又点与的横坐标相同，则

轴.

解法2 设双曲线方程为.

由半焦距，知.

又设点.则过的切线方程为.

与所给的切线方程，即比较知，.

将其代入，得.

与联立解得，.

因此，双曲线的方程为.

从而，切点坐标为.

余下同解法1.