题目内容
【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)若函数在区间上是单调函数,试求实数的取值范围;
(2)已知函数,且,若函数在区间上恰有3个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立,可得,函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立,可得,综合两种情况可得结果;(2),由,知在区间内恰有一个零点,设该零点为,则在区间内不单调,所以在区间内存在零点,同理, 在区间内存在零点,所以只需在区间内恰有两个零点即可,利用导数研究函数的单调性,结合函数单调性讨论的零点,从而可得结果.
试题解析:(1),
当函数在区间上单调递增时, 在区间上恒成立,
∴(其中),解得;
当函数在区间单调递减时, 在区间上恒成立,
∴(其中),解得.
综上所述,实数的取值范围是.
(2).
由,知在区间内恰有一个零点,
设该零点为,则在区间内不单调,
所以在区间内存在零点,
同理, 在区间内存在零点,
所以在区间内恰有两个零点.
由(1)知,当时, 在区间上单调递增,故在区间内至多有一个零点,不合题意.
当时, 在区间上单调递减,
故在内至多有一个零点,不合题意;
所以.
令,得,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
记的两个零点为, (),
因此, ,必有, .
由,得,
所以,
又, ,
所以.
综上所述,实数的取值范围为.