题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
,
,
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若平面平面
,
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析; (2) .
【解析】
(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;
(Ⅱ)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,|
|为单位长,建立坐标系,可得
,
,
的坐标,设
=(x,y,z)为平面BB1C1C的法向量,则
,可解得
=(
,1,﹣1),可求|cos<
,
>|,即为所求正弦值.
(Ⅰ)取AB的中点O,连结OC,,
.
因为,所以
.
由于,
,故
为等边三角形,所以
.
因为,所以
平面
.
又平面
,故
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
.
又平面平面
,交线为
,所以
平面
,故
,
,
两两相互垂直.
以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
.
由题设知,
,
,
.
则,
,
.
设是平面
的法向量,
则 即
可取
.
故 ,
所以与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm), 将所得数据分组,得到如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
[-3, -2) |
| 0.10 |
[-2, -1) | 8 |
|
(1,2] |
| 0.50 |
(2,3] | 10 |
|
(3,4] |
|
|
合计 | 50 | 1.00 |
(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置;
(Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;
(Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。