题目内容
【题目】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）[
，+∞）
【解析】
（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．
（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）ex的导数为
f′（x）=ex（2﹣x2），
由f′（x）＞0，解得﹣
＜x＜，
由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．
即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），
单调增区间为（﹣，）．
（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）ex的导数为
f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，
由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，
即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，
则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，
解得a≥．
则有a的取值范围为[，+∞）．
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