题目内容
【题目】已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1(a>0)关于直线3x﹣2y=0对称,且与直线3x﹣4y+1=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得(O为坐标原点)若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(x﹣2)2+(y﹣3)2=1(2)不存在直线l
【解析】
(1)根据题意,分析可得,解可得a、b的值,由圆的标准方程即可得答案;
(2)假设存在满足题意的直线l,设M(x1,y1)N(x2,y2),联立直线与圆的方程,由直线与圆相交可得△=(2k+4)2﹣16(1+k2)>0,由数量积的计算公式可得=(1+k2)
+
+4=6,解可得k的值,验证是否满足△>0,即可得答案.
(1)根据题意,圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1(a>0)关于直线3x﹣2y=0对称,
即圆心(a,b)在直线3x﹣2y=0上,
圆C与直线3x﹣4y+1=0相切,则C到直线l的距离d=r=1,
则有,
解得或
(舍)
∴圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.
(2)假设存在直线l,使得=6,设M(x1,y1)N(x2,y2),
由得(1+k2)x2﹣(2k+4)x+4=0,
由△=(2k+4)2﹣16(1+k2)>0得,且
,
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)
+
+4=6,
解得k=﹣1或,不满足△>0,
所以不存在直线l,使得=6.
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