题目内容

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an+2n+1，n∈N*．
（1）求证：{an-2}是等比数列；
（2）求数列{nan}前n项和Tn．
（1）∵Sn=4an+2n+1，
∴S1=4a1+3，而S1=a1，
∴a1=-1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=（4an+2n+1）-[4an-1+2（n-1）+1]
=4an-4an-1+2，
∴3an+2=4an-1，
∴3an-6=4an-1-8，即3（an-2）=4（an-1-2），又a1-2=-3，
∴{an-2}是以-3为首项，公比为
4
3
等比数列．
∴an-2=-3×(
4
3
)n-1，
∴an=2-3×(
4
3
)n-1．
（2）∵an=2-3×(
4
3
)n-1，令bn=nan，
则bn=nan=2n-3n×(
4
3
)n-1，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=2（1+2+3+…+n）-3[1×(
4
3
)0+2×(
4
3
)1+3×(
4
3
)2+…+n×(
4
3
)n-1]．
令Cn=1×(
4
3
)0+2×(
4
3
)1+3×(
4
3
)2+…+n×(
4
3
)n-1①，
4
3
Cn=1×(
4
3
)1+2×(
4
3
)2+…+（n-1）×(
4
3
)n-1+n×(
4
3
)n②，
①-②得：-
1
3
Cn=(
4
3
)0+(
4
3
)1+(
4
3
)2+…+(
4
3
)n-1-n×(
4
3
)n
=
1-(
4
3
)n
1-
4
3
-n×(
4
3
)n
=-3（1-(
4
3
)n）-n×(
4
3
)n
=（3-n）×(
4
3
)n-3，
∴Cn=（3n-9）×(
4
3
)n+9．
∴Tn=2×
n(1+n)
2
-3[（3n-9）×(
4
3
)n+9]
=-（9n-27）×(
4
3
)n+n2+n-27．
练习册系列答案
相关题目
数列中，，，当时，等于的个位数，若数列 前项和为243，则=    ．
（理科）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
a
a-1
(an-1)(a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
2Sn
an
+1，若数列{bn}为等比数列，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，记Cn=
1
1+an
+
1
1-an+1
，设数列{Cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞2n-
1
3
．
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+
1
4×6
+…+
1
n(n+2)
=（　　）
A．
1
n(n+2)
B．
1
2
（1-
1
n+2
）
C．
1
2
（
3
2
-
1
n+1
-
1
n+2
）		D．
1
2
（1-
1
n+1
）
已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5．
（1）求{an}的通项公式an和前n项和Sn；
（2）设Cn=
5-an
2
，bn=2cn求数列{bn}的前n项和Tn．
已知{an}是等差数列，其中a10=30，a20=50．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an-20，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
已知正项等比数列{an}中，a2=3，则其前3项的和S3的取值范围是______．
数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
（Ⅰ）求a2，a3的值；
（Ⅱ）证明数列{an}是等比数列，写出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{nan}的前n项和Tn．
在数列{an}中，a1=1，an+1•
an
=8
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）设bn=log2an，求证：{bn-2}为等比数列；
（Ⅲ）求{an}的前n项积Tn．

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