Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）证明数列{a_n}是等比数列，写出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）；
∴a₂=2s₁+1=2a₁+1=2×1+1=3，
∴s₂=a₁+a₂=1+3=4，
∴a₃=2s₂+1=2×4+1=9．
（Ⅱ）∵a_n+1=2S_n+1①，
∴a_n=2S_n-1+1②，
①-②得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n；
∴

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是公比为q=3的等比数列；
∴通项公式an=1×3n-1=3n-1．
（Ⅲ）∵an=1×3n-1=3n-1，
∴T_n=na_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1①
于是，3T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+（n-1）3^n-1+n•3ⁿ②
①-②得：-2Tn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=

1×(1-3n)

1-3

-n•3n
∴前n项和Tn=

1

4

[(2n-1)×3n+1]．