Question

【题目】已知幂函数，且在上单调递增.

（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；

（3）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）因为在上单调递增，所以有（2-k）（1+k）>0，再结合就搞定.（2）因为在不单调，说明对称轴在上.

（3）g（x）是开口向下的二次函数，我们只需要讨论上的单调性，在内求出最大最小值，即可求解q.

试题解析：（1）由题意知,解得: .

又∴或,分别代入原函数,得.

（2）由已知得.

要使函数不单调，则，则.

（3）由已知, .

假设存在这样的正数符合题意,

则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,因而,函数在上的最小值只能在或处取得,又,

从而必有,解得.此时, ,其对称轴,

∴在上的最大值为,符合题意.

∴存在,使函数在区间上的值域为.