Question

14．如图，已知抛物线C：y=ax²（a＞0）与射线l₁：y=2x-1（x≥0）、l₂：y=-2x-1（x≤0）均只有一个公共点，过定点M（0，-1）和N（0，$\frac{1}{4}$）的动圆分别与l₁、l₂交于点A、B，直线AB与x轴交于点P．
（1）求实数a及$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AB}$的值；
（2）试判断：|MA|+|MB|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得：ax²-2x+1=0由△=0求得a，求出P，A，B坐标求得$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AB}$的值．
（2）由第（1）问轻易求得|MA|+|MB|是定值．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得：ax²-2x+1=0
∴△=4-4a=0，∴a=1．
设动圆Q：（x-t）²$+（y+\frac{3}{8}）^{2}={t}^{2}+（\frac{5}{8}）^{2}（-\frac{5}{4}＜t＜\frac{5}{4}）$
联立Q，L₁：$\left\{\begin{array}{l}{（x-t）^{2}+（y+\frac{3}{8}）^{2}={t}^{2}+（\frac{5}{8}）^{2}}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$
得：A（$\frac{2t}{5}+\frac{1}{2}，\frac{4t}{5}$）．
同理得：B（$\frac{2t}{5}-\frac{1}{2}，-\frac{4t}{5}$）
∴${l}_{AB}：y-\frac{4t}{5}=\frac{8t}{5}（x-（\frac{2t}{5}+\frac{1}{2}））$令y=0，得P（$\frac{2t}{5}，0$）
∴$\overrightarrow{NP}•\overrightarrow{AB}=0$
（2）|MA|+|MB|=$\sqrt{\frac{4}{5}}（|t+\frac{5}{4}|+|t-\frac{5}{4}|）=\sqrt{5}$是定值．
设动圆Q：（x-t）²$+（y+\frac{3}{8}）^{2}={t}^{2}+（\frac{5}{8}）^{2}（-\frac{5}{4}＜t＜\frac{5}{4}）$，圆与l₁，l₂相切时取得等号．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题---定值问题．属于中档题型，在高考中经常考到．