Question

5．已知函数f（x）=e^x-ax有两个零点x₁、x₂（x₁＜x₂），求证：x₁+x₂＜2lna．

Answer 1

分析 利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，构造函数，利用导数进行转化即可证明不等式．

解答 解：∵f（x）有两个相异零点，
∴设${e}^{{x}_{1}}$=ax₁，${e}^{{x}_{2}}$=ax₂，①
即${e}^{{x}_{1}}$${e}^{{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a²x₁x₂，
而：x₁+x₂＜2lna，等价于：${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜e^2lna=${e}^{ln{a}^{2}}$=a²，
即a²x₁x₂＜a²，
则等价为x₁x₂＜1
函数的f（x）的导数f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a＞0，还是单调递增，则不满足条件．
则a＞0，
由f′（x）＞0得x＞lna，
由f′（x）＜0得x＜lna，
即当x=lna时，还是f（x）取得极小值同时也是最小值f（lna）=e^lna-alna=a（1-lna），
∵f（x）有两个零点，∴a（1-lna）＜0，
即1-lna＜0，则lna＞1，即a＞e．
要证x₁+x₂＜2lna，则只需要x₂＜2lna-x₁，
又x₂＞lna，则只需要证明f（x₂）＜f（2lna-x₁），
即证f（2lna-x₁）＞f（x₂）=0=f（x₁），
令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），
则g（x）=e^2lna-x-a（2lna-x）-e^x+ax，
g′（x）=-a²e^-x+a-e^x+a=$\frac{-{a}^{2}+2a{e}^{x}-{e}^{2x}}{{e}^{x}}$=-$\frac{（{e}^{x}-a）^{2}}{{e}^{x}}$≤0，
即g（x）在（-∞，lna]上单调递减，
即g（x）＞g（lna）=0，
则命题成立．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，综合性较强，运算量较大．