题目内容

4.设函数f(x)=$\frac{2{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+1}$,求f(x)在[0,1]上的值域.

分析 得出f(0)=0,f(1)=2,当0<x<1时,f(x)=2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$x∈(0,1),运用对钩函数的单调性求解得出0<2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$<2,即可求解值域.

解答 解:∵函数f(x)=$\frac{2{x}^{2}+2x}{{x}^{2}+1}$,
x=0时,f(0)=0,x=1时,f(1)=2,
当0<x<1时,f(x)=2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$,
∵x-1+$\frac{2}{x-1}$<-3,
∴x-1$+\frac{2}{x-1}$+2<-1,
∴-1<$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$<0,
即0<2+$\frac{2}{x-1+\frac{2}{x-1}+2}$<2,
综上f(x)在[0,1]上的值域[0,2]

点评 本题考查了分式函数的值域的求解,关键是恒等变形得出不等式条件,运用对钩函数的性质求解,考查了学生的恒等变形能力.

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