Question

2．设x₁、x₂是关于x的方程ax³+（2-a）x²-x-1=0（a＞0）的实根，且x₁≠1，x₂≠1，若$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，2]，则a的取值范围是[$\frac{8}{9}$，1]．

Answer 1

分析 先把原方程变成（x-1）（ax²+2x+1）=0，从而可判断出x₁，x₂是方程ax²+2x+1=0的两实根．根据韦达定理便有$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$（1），可设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，从而x₁=tx₂，并带入（1）便得到$\left\{\begin{array}{l}{{（t+1）x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{t{{x}_{2}}^{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，消去x₂便得到$t+\frac{1}{t}+2=\frac{4}{a}$，可设f（t）=t+$\frac{1}{t}$+2，通过求导，可求得f（t）的最小值为f（1）=4，最大值为f（2）=$\frac{9}{2}$，从而得到$4≤\frac{4}{a}≤\frac{9}{2}$，解该不等式即得a的取值范围．

解答 解：原方程可变成：
（x-1）（ax²+2x+1）=0；
∵x₁≠1，x₂≠1；
∴x₁，x₂是一元二次方程ax²+2x+1=0的两个实数根；
由韦达定理，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，若设$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，则x₁=tx₂；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（t+1）{x}_{2}=-\frac{2}{a}}&{①}\\{t{{x}_{2}}^{2}=\frac{1}{a}}&{②}\end{array}\right.$；
$\frac{{①}^{2}}{②}$得，$\frac{{t}^{2}+2t+1}{t}=\frac{4}{a}$；
∴$t+\frac{1}{t}+2=\frac{4}{a}$；
设f（t）=$t+\frac{1}{t}+2$，t$∈[\frac{1}{2}，2]$，f′（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$；
t$∈[\frac{1}{2}，1）$时，f′（t）＜0，t∈（1，2]时，f′（t）＞0；
∴f（1）=4是f（t）在$[\frac{1}{2}，2]$上的最小值，且$f（\frac{1}{2}）=f（2）=\frac{9}{2}$；
∴$4≤f（t）≤\frac{9}{2}$；
∴$4≤\frac{4}{a}≤\frac{9}{2}$；
∴$\frac{8}{9}≤a≤1$；
∴a的取值范围是[$\frac{8}{9}$，1]．
故答案为：[$\frac{8}{9}$，1]．

点评 考查处理高次方程的方法：对方程式分解因式变成低次方程，韦达定理，根据导数求函数最值的方法与过程，以及解分式不等式．