Question

3．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点M（0，2）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆交于不同的两点A，B，求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=2，a²=b²+c²，联立解出即可；
（2）当l与x轴重合时，直线l：y=0，代入椭圆方程解得x=±2$\sqrt{2}$．即可得出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-4．
当l与x轴不重合时，设直线l的方程为：my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（2+m²）y²+4my-4=0，利用根与系数的关系可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=-4+$\frac{8m+20}{2+{m}^{2}}$，
令2m+5=t，解得m=$\frac{t-5}{2}$．可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-4+$\frac{32t}{{t}^{2}-10t+33}$=f（t）．对t分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=2，a²=b²+c²，
解得b=2，c=2，a=2$\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）当l与x轴重合时，直线l：y=0，代入椭圆方程解得x=±2$\sqrt{2}$．
取$A（-2\sqrt{2}，0）$，$B（2\sqrt{2}，0）$，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$（-2\sqrt{2}，-2）•（2\sqrt{2}，-2）$=-8+4=-4．
当l与x轴不重合时，设直线l的方程为：my=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-2}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（2+m²）y²+4my-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-4}{2+{m}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=x₁x₂+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁+2）（my₂+2）+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4
=（m²+1）y₁y₂+（2m-2）（y₁+y₂）+8
=$\frac{-4（{m}^{2}+1）}{2+{m}^{2}}$+$\frac{-4m（2m-2）}{2+{m}^{2}}$+8
=-4+$\frac{8m+20}{2+{m}^{2}}$，
令2m+5=t，解得m=$\frac{t-5}{2}$．
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-4+$\frac{32t}{{t}^{2}-10t+33}$=f（t）．
当t=0时，f（t）=-4．
当t＞0时，-4＜f（t）=-4+$\frac{32}{t+\frac{33}{t}-10}$≤-4+$\frac{32}{2\sqrt{33}-10}$=$6+2\sqrt{33}$，当且仅当t=$\sqrt{33}$，即m=$\frac{\sqrt{33}-5}{2}$时取等号．
当t＜0时，-4＞f（t）=-4-$\frac{32}{-t+\frac{33}{-t}+10}$≥-4-$\frac{32}{2\sqrt{33}+10}$=6-2$\sqrt{33}$，当且仅当t=-$\sqrt{33}$，即m=$\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$时取等号．
综上可得：$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$取值范围是$[6-2\sqrt{33}，6+2\sqrt{33}]$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．