Question

12．判断下列各题中的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是否共线：
（1）$\overrightarrow{a}$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$一$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$；
（2）$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$共线．

Answer 1

分析 （1）容易得到$\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$，从而根据共线向量基本定理得到$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线；
（2）由$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$共线，便有$\overrightarrow{{e}_{2}}=k\overrightarrow{{e}_{1}}$，从而得出$\overrightarrow{a}=（k+1）\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{b}=2（1-k）\overrightarrow{{e}_{1}}$，讨论k是否等于1：k=1时显然$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线，而k≠1时，可得到$\overrightarrow{a}=\frac{k+1}{2（1-k）}\overrightarrow{b}$，从而也说明$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线．

解答 解：（1）$4\overrightarrow{{e}_{1}}-\frac{2}{5}\overrightarrow{{e}_{2}}=4（\overrightarrow{{e}_{1}}-\frac{1}{10}\overrightarrow{{e}_{2}}）$；
∴$\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{b}$；
∴向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线；
（2）$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$共线；
∴存在实数k，使$\overrightarrow{{e}_{2}}=k\overrightarrow{{e}_{1}}$；
∴$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{e}_{1}}+k\overrightarrow{{e}_{1}}=（k+1）\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{{e}_{1}}-2k\overrightarrow{{e}_{1}}=2（1-k）\overrightarrow{{e}_{1}}$；
①若k=1，则$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共线；
②若k≠1，则$\overrightarrow{a}=\frac{k+1}{2（1-k）}\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线．

点评 考查共线向量基本定理，注意共线向量基本定理中$\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$．