题目内容
3．已知函数f（x）=x2-x，等差数列{an}中，a1=f（x+1），a2=1，a3=f（x）．（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）当数列{an}是递减数列时，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值．
分析 （1）由题意结合等差中项的概念求得x，分类求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）由数列{an}是递减数列可得an=3-n，由此求出等差数列前3项非负，去绝对值后结合等差数列的前n项和求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值．
解答 解：（1）∵f（x）=x2-x，等差数列{an}中，a1=f（x+1）=（x+1）2-（x+1）=x2+x，a2=1，a3=f（x）=x2-x，
∴2×1=x2+x+x2-x=2x2，即x=±1．
当x=-1时，a1=0，公差d=a2-a1=1，∴an=n-1；
当x=1时，a1=2，公差d=a2-a1=1-2=-1，∴an=2+（n-1）×（-1）=3-n．
（2）∵数列{an}是递减数列，∴an=3-n，
由an=3-n≥0，得n≤3．
∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|=a1+a2+a3-（a4+a5+…+a20）
=2（a1+a2+a3）-（a1+a2+…+a20）=2（2+1+0）-20×2+$\frac{20×19×（-1）}{2}$=-224．
点评 本题考查数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是中档题．
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| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | e | D． | $\frac{1+{e}^{2}}{2}$ |