Question

10．在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b₁=2，且对于任意的正整数m，n满足a_m+n=2a_ma_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）设d_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，T_n是数列{d_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{2013}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）令m=1，结合等差数列和等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求；
（3）运用裂项相消求和可得T_n，再由不等式恒成立思想即可得到所求m的最小值．

解答 解：（1）令m=1可得a_1+n=2a₁a_n，b_1+n=b₁+b_n．
由a₁=1，b₁=2，
可得a_n=a₁•2^n-1=2^n-1，b_n=2+2（n-1）=2n；
（2）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，
则S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=2•$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（3）d_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，
由题意可得$\frac{m}{2013}$≥$\frac{1}{4}$，
解得m≥$\frac{2013}{4}$，
即有最小正整数m为504．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消法，考查数列的不等式恒成立问题的解法，属于中档题．