题目内容
11．已知正项数列{an}前n项和为Sn，且对任意的n∈N，Sn=$\sqrt{{{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…+{{a}_{n}}^{3}}$．（1）求a1，a2，a3 的值．
（2）猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；
（3）设bn=$\frac{2n+1}{{a}_{n}^{2}•{a}_{n+1}^{2}}$，数列{bn}前n项和Tn．
分析 （1）由于对任意的n∈N，Sn=$\sqrt{{{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…+{{a}_{n}}^{3}}$．可得${S}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}$．分别令n=1，2，3，联立解出即可．
（2）由（1）猜想an=n．利用数学归纳法证明即可．
（3）bn=$\frac{2n+1}{{n}^{2}•（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，利用“裂项求和”即可得出．
解答 解：（1）∵对任意的n∈N，Sn=$\sqrt{{{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+…+{{a}_{n}}^{3}}$．∴${S}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}$．
∴分别令n=1，2，3，可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}={a}_{1}^{3}}\\{（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}={a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}}\\{（{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}）^{2}={a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+{a}_{3}^{3}}\end{array}\right.$，an＞0，（?n∈N*）解得a1=1，a2=2，a3=3．
（2）由（1）猜想an=n．
下面利用数学归纳法证明：
（i）当n=1时，a1=1成立；
（ii）假设当n=k时，ak=k（k∈N*）成立，Sk=$\frac{k（k+1）}{2}$．
则当n=k+1时，∵${S}_{k+1}^{2}$=${a}_{1}^{3}$+${a}_{2}^{3}$+…+${a}_{k}^{3}$+${a}_{k+1}^{3}$=${S}_{k}^{2}$+${a}_{k+1}^{3}$．
∴$（{S}_{k}+{a}_{k+1}）^{2}$=${S}_{k}^{2}$+${a}_{k+1}^{3}$．
化为2×$\frac{k（k+1）}{2}$ak+1+${a}_{k+1}^{2}$=${a}_{k+1}^{3}$＞0．
∴${a}_{k+1}^{2}$-ak+1-k（k+1）=0，
解得ak+1=k+1．
∴当n=k+1时，ak+1=k+1，结论成立．
综上可得：?n∈N*，ak=k成立．
（3）bn=$\frac{2n+1}{{a}_{n}^{2}•{a}_{n+1}^{2}}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}•（n+1）^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴数列{bn}前n项和Tn=$（\frac{1}{{1}^{2}}-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}]$
=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
=$\frac{{n}^{2}+2n}{（n+1）^{2}}$．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n项和公式、数学归纳法、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | -3 | B． | 2 | C． | 3 | D． | -2 |
| A． | $\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＞0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$ | B． | $\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x＞0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$ | ||
| C． | $\left\{\begin{array}{l}{-x，x＞0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$ | D． | $\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜0}\\{{x}^{2}，x＞0}\end{array}\right.$ |