Question

2．已知f（x）是定义在正整数集N^*上的函数，当x为奇数时，f（x+1）-f（x）=1，当x为偶数时，f（x+1）-f（x）=3且满足f（1）+f（2）=5．
（1）求证：f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N^*）成等差数列；
（2）求f（n）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用条件建立方程组关系，利用f（1）、f（3）、f（5）的规律，结合等差数列的定义判断f（2n+1）-f（2n-1）为常数即可．
（2）通过当x为奇数时f（x+1）-f（x）=1、当x为偶数时f（x+1）-f（x）=3并项相加即可求出函数f（x）的解析式．

解答 （1）证明：∵当x为奇数时f（x+1）-f（x）=1，
∴f（2）-f（1）=1，
又∵f（1）+f（2）=5，
∴f（1）=2、f（2）=3，
∴f（2n+1）-f（2n-1）=[f（2n+1）-f（2n）]+[f（2n）-f（2n-1）]
=3+1
=4，
∴f（1），f（3），f（5），…，f（2n-1）（n∈N^*）成公差为4的等差数列；
（2）解：当n为奇数时f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）
=$\frac{（n-1）•4}{2}$+2
=2n；
当n为偶数时f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{n-2}{2}$•3+2
=2n-1；
综上所述，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2n，}&{n为奇数}\\{2n-1，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用以及等差数列的定义和判断，综合性较强，注意解题方法的积累，属于中档题．