Question

11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，b=2$\sqrt{6}$，B=2A．
（1）求cosA；
（2）求C的度数．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理列出关系式，把a与b的值，以及B=2A代入求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值求出sinA的值，利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出C的度数．

解答 解：（1）∵a=3，b=2$\sqrt{6}$，B=2A，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：$\frac{3}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{6}}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{6}}{sin2A}$=$\frac{\sqrt{6}}{sinAcosA}$，
则cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）由cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即9=24+c²-2×2$\sqrt{6}$c×$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得：c=3或c=5；
当c=3时，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此时C=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当c=5时，由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
此时C=arcsin$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．