题目内容
6.求证:(1)$\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}$=$\frac{1+sinx}{cosx}$;
(2)tan$\frac{x}{2}$=$\frac{1-cosx}{sinx}$.
分析 (1)由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要证等式的右边,正好等于左边,从而证得等式成立.
(2)由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要证等式的右边,正好等于左边,从而证得等式成立.
解答 证明:(1)∵等式的右边=$\frac{1+sinx}{cosx}$=$\frac{{(cos\frac{x}{2}+sin\frac{x}{2})}^{2}}{{cos}^{2}\frac{x}{2}{-sin}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{{cos}^{2}\frac{x}{2}{+sin}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{{cos}^{2}\frac{x}{2}{-sin}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{1{+tan}^{2}\frac{x}{2}+2tan\frac{x}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{{(1+tan\frac{x}{2})}^{2}}{(1+tan\frac{x}{2})(1-tan\frac{x}{2})}$=$\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}$=左边,
∴等式$\frac{1+tan\frac{x}{2}}{1-tan\frac{x}{2}}$=$\frac{1+sinx}{cosx}$成立.
(2)等式的右边=$\frac{1-cosx}{sinx}$=$\frac{1-(1-{2sin}^{2}\frac{x}{2})}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=$\frac{{2sin}^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=tan$\frac{x}{2}$=左边,
∴等式tan$\frac{x}{2}$=$\frac{1-cosx}{sinx}$成立.
点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、半角公式的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,属于中档题.