题目内容
【题目】已知各项为正数的等比数列{an}满足:a7=a6+2a5 , 若存在两项am、an使得 ,则
的最小值为 .
【答案】
【解析】解:设等比数列的公比为q,则由 a7=a6+2a5 , 可得到 a6q=a6+2 ,
由于 an>0,所以上式两边除以a6 得到q=1+ ,解得q=2或q=﹣1.
因为各项全为正,所以q=2.
由于存在两项 am , an 使得 ,所以,aman=8
,
即
=8
,∴qm+n﹣2=8,∴m+n=5.
当 m=1,n=4时, =2; 当 m=2,n=3时,
=
;当 m=3,n=2时,
=
;
当 m=4,n=1时, =
.
故当 m=2,n=3时, 取得最小值为
,
所以答案是 .
【考点精析】本题主要考查了基本不等式和等比数列的基本性质的相关知识点,需要掌握基本不等式:,(当且仅当
时取到等号);变形公式:
;{an}为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列才能正确解答此题.
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