Question

【题目】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2 sin（ ），直线C的极坐标方程为ρsinθ=1，射线θ=φ，θ= +φ（φ∈[0，π]）与曲线C1分别交异于极点O的两点A，B．
（I）把曲线C1和C2化成直角坐标方程，并求直线C2被曲线C1截得的弦长；
（II）求|OA|2+|OB|2的最小值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲线C1的极坐标方程为ρ=2 sin（ ），∴ρ=2sinθ+2cosθ，
∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x2+y2=2x+2y，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2为圆C的直角坐标方程；
直线C2的极坐标方程为ρsinθ=1，直角坐标方程为y=1
y=1，x=1± ，∴直线C2被曲线C1截得的弦长=2
（II）|OA|=2 sin（φ+ ），|OB|=2 sin（ +φ+ ）=2 cosφ
|OA|2+|OB|2=8sin2（φ+ ）+8cos2φ=4 sin（2φ+ ）+8，
∵φ∈[0，π]，
∴2φ+ ∈[ ， ]，
∴|OA|2+|OB|2的最小值为8﹣4
【解析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得直角坐标方程，并求直线C2被曲线C1截得的弦长；（II）|OA|2+|OB|2=8sin2（φ+ ）+8cos2φ=4 sin（2φ+ ）+8，即可求|OA|2+|OB|2的最小值．